Cổng Pauli X còn được gọi là cổng NOT. Cổng này có ý nghĩa là tạo ra trang thái "ngược" với trạng thái |0> hoặc |1> đầu vào, tương đương với việc quay trạng thái qubit trên mặt cầu Bloch sang điểm đối diện với nó trên mặt cầu.

X | 0 ⟩ = NOT | 0 ⟩ = [ 0 1 1 0 ] [ 1 0 ] = [ 0 1 ] = | 1 ⟩ {\displaystyle X|0\rangle ={\mbox{NOT}}|0\rangle ={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}=|1\rangle } X | 1 ⟩ = NOT | 1 ⟩ = [ 0 1 1 0 ] [ 0 1 ] = [ 1 0 ] = | 0 ⟩ {\displaystyle X|1\rangle ={\mbox{NOT}}|1\rangle ={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=|0\rangle }

Ba toán tử Pauli có mối liên hệ với nhau tương tự như ba toán tử thành phần mô men động lượng L x ^ {\displaystyle {\hat {L_{x}}}} , L y ^ {\displaystyle {\hat {L_{y}}}} , L z ^ {\displaystyle {\hat {L_{z}}}} , ví dụ:

[ X ^ , Y ^ ] = 2 i Z ^ {\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {Y}}]=2i{\hat {Z}}}

Trong cơ học lượng tử, bộ ba toán tử nào liên hệ với nhau theo kiểu trên đều được coi như tương ứng với đại lượng mô men động lượng. Cụ thể các toán tử Pauli tương ứng với một dạng mô men động lượng đặc biệt của hệ vật chất gọi là spin. Toán tử X ứng với đại lượng vật lý spin theo trục X, toán tử Y ứng với spin theo trục Y, toán tử Z ứng với spin theo trục Z. Véc tơ spin là:

S = ( X Y Z ) {\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}}}

Véc tơ riêng của Pauli Z là |0> và |1>, ứng với trị riêng 1 và -1:

Z | 0 ⟩ = | 0 ⟩ {\displaystyle Z|0\rangle =|0\rangle } Z | 1 ⟩ = − | 1 ⟩ {\displaystyle Z|1\rangle =-|1\rangle }

Véc tơ riêng của Pauli X là |+> và |->, ứng với trị riêng 1 và -1:

X | + ⟩ = NOT 1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) = 1 2 ( | 1 ⟩ + | 0 ⟩ ) = | + ⟩ {\displaystyle X|+\rangle ={\mbox{NOT}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1\rangle +|0\rangle )=|+\rangle } X | − ⟩ = NOT 1 2 ( | 0 ⟩ − | 1 ⟩ ) = 1 2 ( | 1 ⟩ − | 0 ⟩ ) = − | − ⟩ {\displaystyle X|-\rangle ={\mbox{NOT}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1\rangle -|0\rangle )=-|-\rangle }

Véc tơ riêng của Pauli Y là 1 2 ( | 0 ⟩ + i | 1 ⟩ ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +i|1\rangle )} và 1 2 ( | 0 ⟩ − i | 1 ⟩ ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -i|1\rangle )} , ứng với trị riêng 1 và -1:

Y 1 2 ( | 0 ⟩ + i | 1 ⟩ ) = 1 2 ( | 0 ⟩ + i | 1 ⟩ ) {\displaystyle Y{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +i|1\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +i|1\rangle )} Y 1 2 ( | 0 ⟩ − i | 1 ⟩ ) = − 1 2 ( | 0 ⟩ − i | 1 ⟩ ) {\displaystyle Y{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -i|1\rangle )=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -i|1\rangle )} .